Mettete al fuoco una casseruola con un quarto di acqua, il burro e una presa di sale: portate ad ebollizione, versatevi la farina tutta in una volta mescolando rapidamente per eliminare gli eventuali grumi. Fate cuocere, senza smettere di rimestare, fino a che la pasta si staccherà dal fondo e dalle pareti del recipiente. Togliete quindi dal fuoco, fate riposare per 5 minuti, poi incorporate il primo uovo amalgamandolo bene; lasciate riposare altri 5 minuti, unite il secondo uovo e poi via via gli altri, facendo attenzione a non aggiungere il successivo se il precedente non è bene incorporato. A questo punto, potete unire il parmigiano grattugiato, il prosciutto e le acciughe, tritati così finemente da essere quasi ridotti in poltiglia. Amalgamate tutto bene. Mettete al fuoco una grande padella per fritti con abbondante olio e fatelo scaldare: prelevate il composto con un cucchiaino e fatelo scivolare nell'olio caldo, aiutandovi con un altro cucchiaino immerso in precedenza nell'olio. Mettete nella padella solo tre o quattro bignè alla volta: quando li vedrete ben gonfi e dorati, levateli con una schiumarola e fate asciugare l'unto di cottura su un foglio di carta assorbente da cucina. Tenete in caldo i bignè mano a mano che li estrarrete dall'olio. Serviteli subito.